韦恩图 - 知识点总结与练习题
韦恩图 (Venn Diagram)：用于表示集合之间关系的图形。
子集关系：如果集合 \(A\) 中的所有元素都在集合 \(B\) 中，则 \(A\) 是 \(B\) 的子集，记为 \(A \subset B\)。
交集：集合 \(A\) 和 \(B\) 的交集是同时属于 \(A\) 和 \(B\) 的所有元素的集合，记为 \(A \cap B\)。
并集：集合 \(A\) 和 \(B\) 的并集是属于 \(A\) 或 \(B\) 或两者的所有元素的集合，记为 \(A \cup B\)。
补集：集合 \(A\) 的补集是不在 \(A\) 中但在全集中的所有元素的集合，记为 \(A'\) 或 \(A^c\)。
事件表示：在韦恩图中，事件表示为集合。
概率计算：区域的面积或包含的元素数量与总面积或总元素数量的比值表示概率。
题目：在一个班级中，有60名学生。其中35人学习数学，25人学习物理，15人同时学习数学和物理。用韦恩图表示并计算：
a) 只学习数学的学生人数
b) 只学习物理的学生人数
c) 既不学习数学也不学习物理的学生人数
设 \(M\) 表示学习数学的学生集合，\(P\) 表示学习物理的学生集合。
题目：在一个调查中，100名学生被问及他们喜欢的水果。结果显示：60人喜欢苹果(A)，45人喜欢香蕉(B)，30人喜欢橙子(C)，20人同时喜欢苹果和香蕉，15人同时喜欢苹果和橙子，10人同时喜欢香蕉和橙子，5人三种水果都喜欢。求：
a) 只喜欢苹果的学生人数
b) 至少喜欢一种水果的学生人数
设 \(A\)、\(B\)、\(C\) 分别表示喜欢苹果、香蕉和橙子的学生集合。
在一个有80名学生的班级中，50人学习英语，40人学习法语，10人既不学习英语也不学习法语。
a) 画出表示这种情况的韦恩图。
b) 计算同时学习英语和法语的学生人数。
c) 计算只学习英语的学生人数。
答题区域：
在一个调查中，120名学生被问及他们参加的课外活动。结果显示：70人参加体育活动，50人参加音乐活动，40人参加艺术活动，25人同时参加体育和音乐，20人同时参加体育和艺术，15人同时参加音乐和艺术，10人三种活动都参加。
a) 计算只参加体育活动的学生人数。
b) 计算至少参加一种活动的学生人数。
c) 计算恰好参加两种活动的学生人数。
答题区域：
设 \(E\) 表示学习英语的学生集合，\(F\) 表示学习法语的学生集合。
已知：\(n(E) = 50\)，\(n(F) = 40\)，\(n(E' \cap F') = 10\)（既不学习英语也不学习法语的学生数）
b) 同时学习英语和法语的学生人数：
总人数 = 学习英语的人数 + 学习法语的人数 - 同时学习两者的人数 + 两者都不学的人数
\(80 = 50 + 40 - n(E \cap F) + 10\)
\(n(E \cap F) = 50 + 40 + 10 - 80 = 20\) 人
c) 只学习英语的学生人数：
\(n(E) - n(E \cap F) = 50 - 20 = 30\) 人
设 \(S\)、\(M\)、\(A\) 分别表示参加体育、音乐和艺术活动的学生集合。
a) 只参加体育活动的学生人数：
\(n(S) - n(S \cap M) - n(S \cap A) + n(S \cap M \cap A)\)
\(= 70 - 25 - 20 + 10 = 35\) 人
b) 至少参加一种活动的学生人数：
\(n(S \cup M \cup A) = n(S) + n(M) + n(A) - n(S \cap M) - n(S \cap A) - n(M \cap A) + n(S \cap M \cap A)\)
\(= 70 + 50 + 40 - 25 - 20 - 15 + 10 = 110\) 人
c) 恰好参加两种活动的学生人数：
参加体育和音乐但不参加艺术的人数：\(n(S \cap M) - n(S \cap M \cap A) = 25 - 10 = 15\) 人
参加体育和艺术但不参加音乐的人数：\(n(S \cap A) - n(S \cap M \cap A) = 20 - 10 = 10\) 人
参加音乐和艺术但不参加体育的人数：\(n(M \cap A) - n(S \cap M \cap A) = 15 - 10 = 5\) 人
恰好参加两种活动的学生总人数：\(15 + 10 + 5 = 30\) 人